Kompleksiluku

Kompleksilukua voidaan havainnollistaa kompleksitasolla, jonka vaaka-akseli kuvaa reaaliosan ja pystyakseli imaginaariosan suuruutta.

Kompleksilukujen joukko ℂ on reaalilukujen luonnollinen laajennus. Kompleksiluku z on muotoa

jossa x ja y ovat reaalilukuja ja i on imaginaariyksikkö, joka voidaan merkitä .[1] Lukua x kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi (Re(z)) ja lukua y vastaavasti sen imaginaariosaksi (Im(z)).

Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: . Jos , kompleksilukua kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.

Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, sillä on positiivinen kaikilla reaalisilla :n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut ja .

Laskutoimitukset

Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä :

[2]
[2]
[2]

kaikilla reaaliluvuilla x,x',y,y'

Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan liittoluvun eli konjugaatin avulla. Kompleksiluvun liittoluku on . Määritellään kompleksiluvun moduuli eli itseisarvo . Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:

[3]

Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:

[4]


Liittolukua merkitään myös :lla.[5]

Kompleksiset potenssit ja juuret

Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun :s potenssi on )

Reaaliluvut ja niiden
laajennokset:

reaaliluvut () · kompleksiluvut () · kvaterniot () · irrationaaliluvut · transsendenttiluvut · surreaaliluvut

Muita:

kardinaaliluvut · -adiset luvut